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%--------------------------------------------------------- Header -----------------------------------------------
\fancyhead[L]{Stern-Gerlach-Report}
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\begin{document}

\begin{titlepage}
	\begin{center}
	\textsc{Laboratoire de Physique i}\\
	[0.5cm]
	\large{\bfseries Laboratory Report} \\
	\line(1,0){300} \\
	[0.3cm]
 %--------------------------------------------------------- Title Page Information --------------------------------------------------------
	\huge{\bfseries Stern-Gerlach} \\
%	[0.2cm]
	\line(1,0){200} \\
	[1.5cm]
	\large{\bfseries Participants: Daniel Lelievre, Juliette Boulanger} \\ 
	{\bfseries E-Mail: } daniel.lelievre@etu.unige.ch, juliette.boulanger@etu.unige.ch\\
	[1cm]
	{\bfseries Supervisor: } \\
	{\bfseries E-Mail: } ruth.bruendler@physik.uzh.ch\\
	[1cm]
	8 Juni 2019 \\
	[5cm]
	\includegraphics[height=4cm]{Figures/UNIGE_Logo_Pink} \\
	\end{center}

\end{titlepage}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

\clearpage

\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\newpage

\setcounter{page}{1}


%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Introduction}
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Im Rahmen dieses Praktikums wurde das Stern-Gerlach-Experiment (SGE) nachgestellt. Erstmals wurde der Versuch von Otto Stern und Walther Gerlach im Jahre 1922 durchgeführt.$^{[1]}$ Der Aufbau der Apparatur war so konzipiert, dass verdampfte Silberatome aus dem Ofen in ein Hochvakuum geleitet wurden. Verschiedene Blenden garantierten einen fokussierten Strahl, welcher durch ein inhomogenes Magnetfeld geleitet und auf eine Glasplatte abgebildet wurde. Aufgrund des Bohr-Sommerfeldschen Atommodells erwarteten sie für das magnetische Moment des Silberatoms mit der Drehimpulsquantenzahl $l =1$ eine Aufspaltung von $(2l+1) = 3$ Teilchenstrahlen. Unerwarteter Weise fehlte aber der mittlere, unabgelenkte Teilchenstrahl. Erst später wurde klar, dass dieses Phänomen einer bis dahin noch unbekannten Teilcheneigenschaft zuzuordnen war, dem Elektronenspin. Die zweifache Aufspaltung kommt dadurch zustande, dass der Elektronenspin nur die beiden halbzähligen Zustände $S = \pm \frac{1}{2}$ annehmen kann. 
Im Rahmen dieses Experiments wurden anstelle von Silber, Kaliumatome verwendet. Für das Ergebnis des Versuches spielt die Wahl der Atome insofern eine Rolle, dass sich ein einzelnes Elektron in der $s$-Schale befinden soll (im Falle von Kalium ein $4s$-Elektron) und alle anderen Elektronenschalen komplett gefüllt sind. Dadurch ist der einzige Beitrag zum magnetischen Moment des Atoms, der des $s$-Elektrons mit Drehimpulsquantenzahl ~ $l$ = 0.$^{[2]}$ 
Weitere Elemente welche diese Bedingungen ebenfalls erfüllen wären zum Beispiel sämtliche restlichen Alkalimetalle (1. Hauptgruppe im Periodensystem), sowie Kupfer (Cu) und Gold (Au). Ein grosser Vorteil von Kalium im Vergleich zu Silber ist die sehr viel tiefer liegende Verdampfungstemperatur im Hochvakuum welche unter 150° C liegt. Bei der Probenzubereitung und der Lagerung von Kalium muss aber darauf geachtet werden, dass das Material nicht für längere Zeit in Kontakt mit der Feuchtigkeit in der Luft kommt. Der Kontakt mit Wasser führt zu stark exothermen, explosionsartigen Reaktionen, was bei Silber wiederum nicht der Fall wäre.  
\\\\





\clearpage

%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Theory}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Wie in der Einleitung bereits erwähnt besitzt das Kaliumatom nur ein einzelnes $4s$-Elektron in der Valenzschale und die unteren Schlaen sind voll gefüllt. Daher ist der Drehimpuls in seinem Grundzustand gleich Null. Dadurch dass die $s$-Orbitale die Bahndrehimpulsquantenzahl $l=0$ haben, wird das gesammte magnetische Moment $\vec{\mu}$ des Atoms ausschliesslich vom Elektronenspin $\vec{S}$ verursacht. Dabei gilt:


\begin{equation} \label{total_magnetic_moment}
	\vec{\mu} = -\frac{e}{2 \cdot m_e} g_s \cdot \vec{S}
\end{equation}

Wobei $e$ die Elementarladung, $m_e$ die Masse und $g_s$ der Landé-Faktor des Elektrons ist. Konventionsgemäss definiert man die $z$-Richtung des Systems so, dass sie parallel zum externen Magnetfeld liegt. Relativ zu dieser $z$-Achse kann der Elektronspin $S_z$ nur zwei Ausrichtungen $m_s$ annehmen:


\begin{equation} \label{electron_spin_orientation}
	m_s = \pm \frac{1}{2}
\end{equation}

Dabei können die möglichen Werte von $S_z$ mittels Formel (\ref{eigenvalues_electronspin}) berechnet werden wobei $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum ist.

\begin{equation} \label{eigenvalues_electronspin}
	S_z = m_s \cdot \hbar
\end{equation}

Des weiteren ist das zugehörige magnetische Moment $\mu_z$ gegeben durch 

\begin{equation} \label{magnetic_moment}
	\mu_z = - \mu_B \cdot m = m_s \cdot g_s
\end{equation}

mit dem Bohrschen Magneton

\begin{equation} \label{e6}
	\mu_B = - \frac{e\cdot \hbar}{2 \cdot m_e} = 9.274 \cdot 10^{-24} \mbox{ } \mbox{Am}^2.
\end{equation}

Ziel dieses Experimentes ist es unter anderem $\mu_B$ zu bestimmen. Dafür müssen aber noch einige weitere Überlegungen bezüglich des Magnetfeldes und dessen Wirkung auf bewegte Teile gemacht werden. Die Kraft eines inhomogenen Magnetfeldes welches auf die $z$-Komponente des magnetischen Moments $m_{s,z}$ eines Teilchens wirkt ist in Formel (\ref{force_magneticmoment}) beschrieben. 


\begin{equation} \label{force_magneticmoment}
	F_z(y,z) = m_{s,z} \dfrac{\partial B_z(y,z)}{\partial z}
\end{equation}

Aus Formel (\ref{force_magneticmoment}) ist ersichtlich weshalb es wichtig ist, ein inhomogenes Magnetfeld, zu verwenden. Bei einem homogenen Magnetfeld würde der Gradient $\qty(\frac{\partial B_z}{\partial z})$ und somit die wirkende Kraft $F_z$ verschwinden. 


Des weiteren lohnt es sich an dieser Stelle auch zu erwähnen, weshalb dieses Experiment nur mit neutralen Teilchen funktionieren kann. Würde man zum Beispiel einen Elektronenstrahl verwenden, wäre die wirkende Lorentzkraft auf das Elektron so gross, dass es durch die starke Ablenkung den Detektor gar nicht mehr erreichen könnte. 



Kommen wird nun wieder zu unseren neutralen Teilchen zurück. Aus Formel (\ref{force_magneticmoment}) ist zudem ersichtlich, dass die Kraft $F_z$ proportional zum Gradienten des Magnetfeldes ist und dass der Strahl folglich in \mbox{ } $z$-Richtung abgelenkt wird. 
In Abbildung \ref{flugbahn} ist diese Ablenkung schematisch dargestellt. Bezieht man nun die Bewegungsgleichung mit ein, kann der Kraftstoss der auf ein Teilchen mit Masse $M$ wirkt wie folgt beschrieben werden:



\begin{equation} \label{force_proportional}
	F_z(y,z)~ \Delta t = M~\dot{z}
\end{equation}


\begin{figure}[!h] \centering \includegraphics[height=6cm]{Figures/flugbahn}
	\caption{Vereinfachte Darstellung der Flugbahn für ein Teilchen welches durch ein inhomogenes Magnetfeld der Länge $L$ mit Geschwindigkeit $v$ fliegt und nach der Strecke $l$ im Detektor aufschlägt.}
	\label{flugbahn}
\end{figure}

Die Ablenkung $\Delta z$ des Teilchens (Siehe Abbildung \ref{flugbahn}) kann mittels Formel (\ref{distanz_ablenkung}) beschrieben werden. 


\begin{equation} \label{distanz_ablenkung}
	\Delta z = \dfrac{1}{2} \ddot{z}(\Delta t)^2 = \dfrac{F_z}{2 M}(\Delta t)^2=\dfrac{1}{2} \dot{z} \Delta t
\end{equation}

Daraus ist ersichtlich, dass die Ablenkung in der Detektorebene von der Teilchengeschwindigkeit $v$ und vom Feldgradienten $\qty(\frac{\partial B_z}{\partial z})$ abhängt. Bezüglich $v$ folgen die Atome der Maxwell'schen Geschwindigkeitsverteilung während $\qty(\frac{\partial B_z}{\partial z})$  wie in Formel (\ref{epsilon}) beschrieben, mittels des Magnetfeldes $B$ bestimmt werden kann. Für kleine Ablenkungen der Atome wird dabei angenommen, dass der Feldgradient proportional zu $B$ ist, da durch die Aufbaugeometrie ein kleiner Bereich zwischen den Polschuhen existiert, in welchem der Gradient fast konstant bleibt. Der Aufbau des Apparatus lies es nicht zu, das Magnetfeld mittels eines Hall-Sensors direkt zu bestimmen. Aus diesem Grund wurde eine vom Hersteller PHYWE eine Eichkurve wie in Abbildung \ref{Eichkurve} gezeigt bereit gestellt.$^{[3]}$ Mit Hilfe dieser Eichung und Formel (\ref{Eichkurve_formel}) konnte das Magnetfeld $B$ berechnet werden. 

\begin{equation} \label{Eichkurve_formel}
f(x) = c + a_1 \cdot x + a_2 \cdot x^2 + a_3 \cdot x^3
\end{equation}

Wobei $c$ eine Konstante ist, $x$ für den Strom $I$ und $f(x)$ für das Magnetfeld $B(I)$ steht. 

\clearpage

Des weiteren kann mittels der Proportionalitätskonstante $\epsilon$, auf dessen Herleitung wir hier einfachheitshalber verzichten, der Feldgradient $\qty(\frac{\partial B_z}{\partial z})$ bestimmt werden:

\begin{equation} \label{epsilon}
\epsilon = \abs{\dfrac{\partial B}{\partial z}} \dfrac{a}{B} \qquad \mathrm{mit} \qquad \bar{\epsilon} = 0.953 \pm 0.0026
\end{equation}


Die Konstante $a$ entspricht dabei dem Radius des konvexen Polschuhs. Der Aufbau des Magneten im Innern der Apparatur ist in Abbildung \ref{magnet} dargestellt. 



\begin{figure}[!h] \centering \includegraphics[height=6cm]{Figures/magnet}
	\caption{Querschnitt durch den Polschuh}
	\label{magnet}
\end{figure}

Mit dem Gradienten $\frac{\partial B}{\partial z}$ der bekannten Ofentemperatur $T$ und den Apparaturkonstanten $L$ und $l$ (siehe Formel (\ref{distanz_ablenkung2})), können wir durch Abmessen der Position der Intensitätsmaxima das Moment $m_{s,z}$ ermitteln. Die Position der Intensitätsmaxima ist dabei gegeben durch: 


\begin{equation} \label{distanz_ablenkung2}
	u_e = \pm \dfrac{q}{3} = \dfrac{lL (1-\frac{L}{2l})m_{s,z} \frac{\partial B_z (y,z)}{\partial z}}{6 k T}
\end{equation}

Dabei entspricht $m_{s,z}$ dem Bohrschen Magneton $\mu_B$, $k$ ist die Boltzmann Konstante und $T$ ist die Temperatur im Ofen. Der Parameter $q$ entspricht einer nützlichen, einheitslosen Grösse welche im Zusammenhang mit der Position der Intensitätsmaxima $u_e$ steht. Durch auflösen von Formel (\ref{distanz_ablenkung2}) nach $m_{s,z}$ bekommt man dann schlussendlich: 

\begin{equation} \label{magneton}
	m_{s,z}=\mu_B = \dfrac{2kTq}{lL (1-\dfrac{L}{2l}) \qty(\dfrac{\partial B_z}{\partial z})}
\end{equation}

\clearpage







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\section{Experimental}
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Die Apparatur wird in Abbildung \ref{aufbau1} und \ref{aufbau2} dargestellt. Die Apparatur wurde von PHYWE hergestellt, die Bilder stammen aus der Versuchsanleitung.$^{[3][2]}$

\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=6cm]{Figures/Aufbau1.jpg}
	\caption{Aufbauübersicht des Experiments}
	\label{aufbau1}
\end{figure}

\begin{multicols}{2}
    \begin{itemize}
        \item[(1)] Atomstrahlquelle (Ofen mit Kaliummetall)
        \item[(2)] Schrittmotor zum bewegen des Detektors
        \item[(3)] Anschluss zur Vakuumpumpe
        \item[(4)] Magnetischer Analysator (Spulen, Polschuhe)
        \item[(5)] Atomstrahlrohr
        \item[(6)] Langmuir-Taylor-Detektor
    \end{itemize}
    \end{multicols}
    
Die Kaliumatome welche sich im Ofen (1) befinden und durch das erhitzen auf circa $133^\circ\text{C}$ verdampft werden, treten aus dem Ofen durch eine Schlitzblende aus und fliegen in Richtung des magnetischen Analysators (4). Beim Durchqueren des magnetischen Analysators wird der Kalium-Atomstrahl in z-Richtung symmetrisch aufgespalten. Schlussendlich wird der Atomstrahl vom Langmuir-Taylor-Detektor (6) aufgenommen. Der Detektor bewegt sich durch den Schrittmotor (2) von der Position $-7$ zu $+7$ mm auf der z-Achse. Des weiteren besteht der Detektor aus einem Wolframdraht und einem Blech mit einer Öffnung für den Kaliumstrahl. Zwischen dem Wolframdraht und dem Blech wird eine 50~V Spannung angelegt mit dem negativen Pol am Blech, damit die positiv geladenen Kaliumionen vom Draht zum Blech transportiert werden. Der Detektor ist mit einem Verstärker verbunden, um den durch die Kaliumionen induzierten Strom zu verstärken und aufzuzeichnen.
Eine Messung ist abgeschlossen, wenn alle Spannungswerte zwischen $-7$ und $+7$ mm in z-Richtung aufgenommen wurden. Anfangs wurde eine Messreihe ohne Magnetfeld durchgeführt, danach wurde die Stromstärke des Magnetfeldes von $300$ mA bis auf $1000$ mA in circa $100$ mA Schritten erhöht.


\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=6cm]{Figures/Aufbau2.jpg}
	\caption{Aufbauübersicht des Experiments}
	\label{aufbau2}
\end{figure}



\par
\begingroup
\begin{onehalfspace}
\leftskip=1.7cm 
\noindent 
A Netzgerät für Ofenheizung \\
B Netzgerät für Magnetspulenstrom \\
C Gleichstrom-Messverstärker \\
D Netzgerät für Detektorspannung über den Anpassungstrafo \\
E Interface zur Datenerfassung und Schrittmotorsteuerung \\
F Temperaturanzeige für Ofen \\
G Stromanzeige für Detektor \\
X Strom- und Spannungsanzeige Ofen \\
Y Stromanzeige Magnetspule \\
\par
\end{onehalfspace}
\endgroup



\newpage

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\section{Results and Discussion}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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\subsection{Aparatus and Callibration}
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Die Gerätekonstanten wurden uns bis auf die Abschätzung des Fehlers zur Verfügung gestellt. Die Fehler sind bei dem Radius des konvexen Pols $a$ und der Länge der Pole $L$ sehr klein, da sie mit hoch-präzisem Werkzeug gefertigt wurden. Der Fehler auf der Distanz Magnetfeldeintritt - Detektor $l$ ist grösser, da dieses Bauteil aus mehreren Teilen besteht. 
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{table}[H]
\centering
\label{tm1}
\begin{tabular}{lclll}
\cline{1-2}
\multicolumn{1}{|l|}{Länge der Pole $L$}                        & \multicolumn{1}{c|}{(7.000 $\pm$ 0.001) $\cdot 10^{-2}$ m} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  \\ \cline{1-2}
\multicolumn{1}{|l|}{Radius des konvexen Pols $a$}              & \multicolumn{1}{c|}{(0.250 $\pm$ 0.001) $\cdot 10^{-2}$ m} & \multicolumn{1}{c}{} & \multicolumn{1}{c}{} &  \\ \cline{1-2}
\multicolumn{1}{|l|}{Distanz Magnetfeldeintritt - Detektor $l$} & \multicolumn{1}{c|}{(4.550 $\pm$ 0.012) $\cdot 10^{-1}$ m} &                 \\           \cline{1-2}  
\end{tabular}
\vspace{0.2cm}
\caption{Gerätekonstanten}
\vspace{-2em}
\end{table}

Die Eichkurve des Elektromagneten wurde vom Hersteller gemessen und ist in Abbildung \ref{Eichkurve} zu sehen.$^{[3]}$ Das Magnetfeld $B$ wurde mit folgenden Parametern und Formel (\ref{Eichkurve_formel}) berechnet.

\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=12cm]{Figures/Eichkurve.png}
	\caption{Magnetfeld-Eichkurve}
	\label{Eichkurve}
\end{figure}

\newpage
Die Parameter der Formel (\ref{Eichkurve_formel}) sind: 

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{table}[H]
\centering
\label{tm2}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
$c$   & $(1.54590 \pm 0.27819) \cdot 10^{-2}$ \\ \hline
$a_1$ & $(6.11300 \pm 0.20927)\cdot 10^{-1}$  \\ \hline
$a_2$ & $(5.14600 \pm 0.41541)\cdot 10^{-1}$  \\ \hline
$a_3$ & $(-3.90700 \pm 0.22721)\cdot 10^{-1}$ \\ \hline
\end{tabular}
\vspace{0.2cm}
\caption{Koeffizienten der Eichkurve}
\vspace{-2em}
\end{table}

Wobei $c$ eine Konstante ist und $a_i$ die Koeffizienten der Approximation.



%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Measurement Results}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bei jeder Messung wurden nebst den Messergebnissen die später für die Berechnung benötigt wurden, auch noch wichtige Umgebungsdaten aufgezeichnet.


\begin{table}[H]
\centering
\label{messungen}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Messung & Druck {[}mbar{]}          & Temperatur {[}K{]} & Strom Elektromagnet {[}mA{]} \\ \hline
1       & $(5.1 \pm 0.1)\cdot10^{-6}$ & $405.9 \pm 0.1$    & $305 \pm 5$                  \\ \hline
2       & $(5.0\pm 0.1)\cdot10^{-6}$  & $405.9 \pm 0.1$    & $400 \pm 5$                  \\ \hline
3       & $(4.9\pm 0.1)\cdot10^{-6}$  & $405.8 \pm 0.1$    & $505 \pm 5$                  \\ \hline
4       & $(4.9\pm 0.1)\cdot10^{-6}$  & $405.8 \pm 0.1$    & $600 \pm 5$                  \\ \hline
5       & $(4.8\pm 0.1)\cdot10^{-6}$  & $405.9 \pm 0.1$    & $705 \pm 5$                  \\ \hline
6       & $(4.8\pm 0.1)\cdot10^{-6}$  & $405.8 \pm 0.1$    & $800 \pm 5$                  \\ \hline
7       & $(4.7\pm 0.1)\cdot10^{-6}$  & $405.8 \pm 0.1$    & $900 \pm 5$                  \\ \hline
8       & $(4.7\pm 0.1)\cdot10^{-6}$  & $405.7 \pm 0.1$    & $1005 \pm 5$  \\ \hline
\end{tabular}
\vspace{0.2cm}
\caption{Umgebungsdaten für die durchgeführten Messungen}
\vspace{-2em}
\end{table}




\newpage

%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Analysis}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Die Tabelle \ref{tab} beinhaltet die Rohdaten des Detektors wurden direkt in ein Python Programm, das uns vom Physik-Institut der Universität Zürich zur Verfügung gestellt wurde, eingelesen. Das Programm "fittet" für jede Messung den Parameter $q$ und den Fehler $m_q$.
Mit Hilfe von Formel (\ref{epsilon}) konnte der Gradient des magnetischen Feldes $B$ und mit (\ref{ff2}) der dazugehörige Fehler berechnet werden.

\begin{table}[H]
\centering
\label{tab}
\vspace{0.1cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\rule{0pt}{20pt} Messung & $\frac{\partial{B}}{\partial{z}}$ {[}T$\cdot$m$^{-2}${]} & Parameter $q$ {[}m{]}\\ [0.8ex] \hline
 1       & $90.989 \pm 3.448$                                                       & $1.990 \pm 0.261$    \\ \hline
2       & $120.959 \pm 4.573$                                                      & $2.667 \pm 0.282$    \\ \hline
3       & $154.418 \pm 6.163$                                                      & $3.344 \pm 0.341$    \\ \hline
4       & $184.159 \pm 7.949$                                                      & $3.905 \pm 0.451$    \\ \hline
5       & $215.489 \pm 10.347$                                                     & $4.752 \pm 0.571$    \\ \hline
6       & $241.606 \pm 12.934$                                                     & $5.359 \pm 0.689$    \\ \hline
7       & $265.938 \pm 16.124$                                                     & $5.973 \pm 0.820$    \\ \hline
8       & $287.038 \pm 20.030$                                                     & $6.490 \pm 0.915$    \\ \hline
\end{tabular}
\vspace{0.2cm}
\caption{Berechneter Gradient des Magnetfeldes $\frac{\partial B}{\partial z}$ und Resultate für den Parameter $q$ inklusive Fehler. \label{tab}}
\vspace{-2em}
\end{table}

Die Messdaten des Detektors wurden vom Python Programm direkt dargestellt. In den Plots wird ersichtlich welche Spannung an welchem Ort gemessen wurde. Sprich wo unsere Atome beim Detektor auftreffen. Das Python Programm hat die Messpunkte (blau), den Initial guess, basierend auf Daten vom vorherigen Durchlauf (grün) und den Fit (rot) dargestellt.
Die Abbildung \ref{illu} dient zur Illustration, die weiteren Plots (Abbildungen \ref{plot1} bis \ref{plot8}) sind im Anhang zu finden.

\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=8cm]{Figures/plot7.jpg}
	\caption{Messung bei 900 mA}
	\label{illu}
\end{figure}


Die Daten der Tabelle \ref{tab} wurden gegeneinander aufgetragen, um die Steigung mittels linearer Regression bestimmen zu können.

\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=8cm]{Figures/plot_gradient.jpg}
	\caption{Gradient $\frac{\partial B}{\partial z}$ geplottet als Funktion von q mit dazugehörigen Fehlern und mit eingezeichnetem linearem Fit $\frac{\partial B}{\partial z} (q) = \alpha \cdot q + \beta$ mit $\alpha = (45.1 \pm 0.9) \cdot 10^3~\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{m}^2}$ und $\beta = (1.6 \pm 2.7)~\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{m}}$, wobei $\beta$ nachher nicht mehr benötigt wird.}
	\label{plot_gradient}
\end{figure}


Die Steigung $\alpha$ des linearen Fits entspricht dabei $\frac{\partial B}{\partial z} \cdot \frac{1}{q}$ und nach einsetzen in Formel \ref{magneton} erhält man das Bohrsche Magneton


\begin{equation} \label{magneton2}
	m_{s,z}=\mu_B = \dfrac{2kT}{lL (1-\dfrac{L}{2l})~\alpha } =  (8.4 \pm 0.2) ~\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{T}}.
\end{equation}


\newpage

%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Error Calculation}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Die Messfehler auf unseren Resultaten wurden nach den Regeln der Gauss'schen Fehlerfortpflanzung berechnet.
Der Fehler auf dem Magnetfeld B wird für jede Messung wie folgt berechnet:\\\\
\begin{equation} \label{ff1}
    m_{B} = \sqrt{\left(\frac{\partial{B}}{\partial{I}}m_{I}\right)^2 + \left(\frac{\partial{B}}{\partial{c}}m_{c}\right)^2 + \left(\frac{\partial{B}}{\partial{a_1}}m_{a_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial{B}}{\partial{a_2}}m_{a_2}\right)^2 + \left(\frac{\partial{B}}{\partial{a_3}}m_{a_3}\right)^2}
\end{equation}\\

Der Fehler auf dem Gradienten wurde folgendermaßen berechnet:\\\\
\begin{equation} \label{ff2}
    m_{\frac{\partial{B}}{\partial{z}}} = \sqrt{\left(\frac{\partial{\frac{\partial{B}}{\partial{z}}}}{\partial{\epsilon}}m_{\epsilon}\right)^2 +  \left(\frac{\partial{\frac{\partial{B}}{\partial{z}}}}{\partial{B}}m_{B}\right)^2 + \left(\frac{\partial{\frac{\partial{B}}{\partial{z}}}}{\partial{a}}m_{a}\right)^2}
\end{equation}\\


Der Fehler auf die Temperaturmessung wurde mittels Standardabweichung der Messwerte bestummen:\\\\
\begin{equation} \label{ff3}
    m_{\bar{T}} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\cdot\sum_{i=1}^{n} (T_i-\bar{T})^2}
\end{equation}\\
Mit den Werten von Tabelle 3 beträgt der Fehler $0.07$~K.

Schlussendlich konnte der Fehler auf $m_{S,z}$ berechnet werden:\\\\
\begin{equation} \label{ff4}
    m_{m_{S,z}} = \sqrt{\left(\frac{\partial{m_{S,z}}}{\partial{q}}m_{q}\right)^2 + \left(\frac{\partial{m_{S,z}}}{\partial{l}}m_{l}\right)^2 + \left(\frac{\partial{m_{S,z}}}{\partial{L}}m_{L}\right)^2 + \left(\frac{\partial{m_{S,z}}}{\partial{\bar{T}}}m_{\bar{T}}\right)^2 + \left(\frac{\partial{m_{S,z}}}{\partial{\frac{\partial{B}}{\partial{z}}}}m_{\frac{\partial{B}}{\partial{z}}}\right)^2}
\end{equation}






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\section{Conclusion}
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Die Berechnungen resultieren für das magnetische Moment
\begin{equation} \label{d1}
   m_{s,z}=\mu_B = (8.4 \pm 0.2)  ~\mathrm{J} \cdot \mathrm{T}^{-1}
\end{equation}

Der Literaturwert von $\mu_B = 9.3 \mbox{ } \mathrm{J} \cdot \mathrm{T}^{-1}$ liegt nicht im Fehlerbereich des ermittelten Werts. Zu diesem Unterschied können folgende Faktoren mit eingewirkt haben:

\begin{itemize}
\item Der Wolfram Draht im Detektor kann noch verunreinigt sein durch vorherige Versuche.
\item Das Vakuum in der Apparatur wurde so tief wie möglich angelegt, aber ein perfektes Vakuum war nicht möglich. Daher, durch die hohe Interaktionsrate (Reaktivität) der Kaliumionen mit Sauerstoff und $H_2O$, könnte das Messresultat geringfügig verfälscht worden sein.
\item Die Widerstände wurden generell als konstant angenommen, reale Widerstände sind jedoch nicht perfekt konstant und dementsprechend ist der Strom I auch nicht perfekt proportional zu der Spannung V.
\end{itemize} 

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\section{Literatur}


\begin{enumerate}[label={[\arabic*]}]
  \item \textit{Lisa Felker}, Bachelorarbeit, Aufbau und Inbetriebnahme einer Stern-Gerlach-Apparatur, Universität Aachen, 2009\\
  \item Anleitung zum VP-Versuch: Das Stern-Gerlach Experiment, Versuchsanleitung, Universität Zürich, 2019.\\
  \item Stern-Gerlach-Apparatur, Manual der PHYWE Systeme GmbH, Göttingen.\\
\end{enumerate}


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\section{Appendix}
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\subsection{Python Script}
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Der Plot der Nullfelddaten wurde mit Hilfe des Zusatzprogramms erstellt.
\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=10cm]{Figures/zusatz.jpg}
	\caption{Grafische Darstellung des Doppelgauss-Fits der Nullfelddaten}
	\label{z}
\end{figure}

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\subsection{Data Collection}
Illustrationen des Python Programms für die verschiedenen angelegten Stromstärken.

\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=10cm]{Figures/plot1.jpg}
	\caption{Messung bei 305 mA}
	\label{plot1}
\end{figure}


\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[height=10cm]{Figures/plot2.jpg}
	\caption{Messung bei 400 mA}
	\label{plot2}
\end{figure}


\end{document}